Apfelmännchen ??!

Es klingt wie das Produkt einer Bastelstunde. Aber es handelt sich tatsächlich um ein höchst interessantes mathematisches Phänomen. Es geht um die sogenannte Mandelbrotmenge. Auch dies hat nichts mit Adventsbäckerei zu tun, vielmehr ist sie benannt nach dem Mathematiker Benoît Mandelbrot, der sie als erster näher untersucht hat.
Die Mandelbrotmenge besteht aus einer Menge komplexer Zahlen, für die eine bestimmte Zahlenfolge beschränkt bleibt, also nicht über alle Maße wächst. Wer genaueres wissen will, findet hier eine Einführung.
Auf eine Fläche aufgetragen bildet diese Zahlenmenge eine Figur, die einem Apfelmännchen gleicht. Das wäre allerdings noch nicht wirklich interessant. Spannend ist die Selbstähnlichkeit der Figur. Zoomt man in ihre Randzone entdeckt man auf der Oberfläche kleinere Apfelmännchen, auf deren Oberfläche wiederum kleinere usw. Aber es werden auch andere ungeheuer komplexe Strukturen sichtbar, ein Universum, das auch bei unentwegter Verkleinerung nicht enden will.

Eine Reise in die Unendlichkeit

Um das Apfelmännchen zu erzeugen, drücken Sie auf die Start-Taste. Sehen Sie einen Bereich, der Sie näher interessiert? Dann klicken Sie einfach an diese Stelle. Spannend sind vor allem die Randzonen. (Da die Berechnung ziemlich aufwendig ist, kann es ein paar Sekunden dauern, bis das Bild erzeugt ist - ein kleiner Leistungstest Ihres Rechners).
Wenn Sie wieder die vorherige Ansicht erzeugen wollen, klicken Sie auf 'Herauszoomen'.
Um die gleiche Ansicht erneut zu erzeugen (z.B. nach Änderung einer der unten beschriebenen Parameter), drücken Sie auf 'Wiederholen'.

Variationen

Es stehen Ihnen einige Parameter zur Verfügung, mit denen Sie spielen können:
Die Farbgestaltung können Sie über den Farbwert steuern.
Über die Genauigkeit bestimmen Sie, wie 'tief' die Zahlenfolge verfolgt wird, um über die Mitgliedschaft zur Mandelbrotmenge zu entscheiden. Ein kleiner Wert beschleunigt die Berechnung, ein großer Wert verbessert die Schärfe.
Über den Zoomfaktor können Sie einstellen, zu welcher Vergrößerung ein Zoom-Schritt führt.
Sie können auch die Umgebung des Apfelmännchens kolorieren. Das gewählte Berechnungsverfahren produziert nämlich auch für die Punkte außerhalb der Menge noch Farbwerte. Sie deuten darauf hin, dass auch die Umgebung mathematisch strukturiert ist.

Anmerkungen

Wenn Sie oft genug zoomen, wird irgendwann die Schärfe nachlassen und die Bildauflösung gröber. Dies liegt nicht daran, dass Sie 'das Ende der Unendlichkeit' erreicht hätten. Vielmehr haben Sie die Rechengenauigkeit des Computers erreicht.
Auch sehen Sie immer wieder versprengte Einzelpunkte in der Fläche. Diese haben ihren Ursprung zum Teil in Berechnungsfehlern, die zu vermeiden sehr rechenintensiv wäre. Zum Teil handelt es sich aber auch um sog. Satelliten, die sich beim Zoomen wieder als mit der Hauptfigur verbunden erweisen. Wenn es auch beim Anblick der 'kosmischen Spiralnebel' kaum zu glauben ist, die Mandelbrotmenge besitzt einen durchgehenden ununterbrochenen Rand! Wäre sie ein Kontinent umgeben von einem Ozean, besäße sie keine einzige Insel, lediglich Halbinseln. Man könnte das Festland von jedem Punkt aus trockenen Fußes erreichen! (Dieses Bild erinnert etwas an die Palm Islands in Dubai). Allerdings bräuchte man unendlich viel Zeit, um die Küste dieses Kontinents abzulaufen. Man konnte nämlich beweisen, dass der Rand der Mandelbrotmenge eine unendliche Länge besitzt!